2018年3月18日 星期日

[進階物理] 狹義相對論的同時性


在「霍金的時間」裡,我談到「狹義相對論中,時間和空間是相對的,同時性也是相對的」。本文旨在用「時空圖」(spacetime diagrams)來簡單展示狹義相對論(special relativity)如何導致同時性(simultaneity)相對而非絕對。

同時性:想像你在家中開電視時,留意到窗外的天上有一道閃電,兩事是同時發生的,換句話說,那兩件事具有同時性。日常經驗中,如有正確的認知,一人認為兩件事同時發生,另一人也必認為如此;如以上的例子中,你母親不該認為你開電視十秒後才有閃電。然而在狹義相對論中,同時性是相對於觀察者速率(物理上「速率」包括方向),即一人認為兩件事同時發生,另一人可以不認為如此。

時空圖:其實只是一個座標圖,當中有兩種座標軸:一維的空間軸(x)和時間軸(t)(圖一)(註1)。它可用來簡單地表達(1)事件的發生和(2)物體和觀察者的運動,進而分析狹義相對論中的概念;真實世界中空間有上下、左右、前後三維(three dimensions),只要把時空圖一維的空間擴充至三維便可(加上時間是四維,但人腦難以想像四維,所以只有以純數學處理)。

圖一

一、牛頓物理的相對運動

先從日常經驗入手,了解牛頓物理的相對運動(relative motion),有助我們明白為何要引入狹義相對論。

情境一:一人以1.5 m/s的速率運動,旁有一車以3 m/s向同一方向運動(圖二)

圖二

那麼車相對那人的速率是多少?因為人也在運動,在他看來車的速率少於3 m/s。

車相對人的速率 = 3 - 1.5 = 1.5 m/s

這結果合乎我們的常識,並將有利我們了解情景二。

情境二:在太空中,一人靜止不動,以電筒照射出一條光線;太空船沿光線同一方向以1.5 x 10⁸ m/s的速率運動,人和太空船在某時刻相遇(圖三)。

圖三


真空中,光的速度約為3 x 10⁸ m/s,這太空船的速度剛好是它一半。

如我們以時空圖表達以上情況,將會如圖四一樣。人和太空船在t = 0的時間,在x = 0的位置相遇,橙色線是光在時空的軌跡,而藍色線是太空船的軌跡。當一秒過去後,太空船前進了1.5 x 10⁸ m,兩秒後,太空船共前進了3 x 10⁸ m…

圖四

由於人靜止不動,他的位置一直都是x = 0,所以他在時空的軌跡就是t軸,而整個x-t座標系統就是這個人的座標系(reference frame)。這樣看來,太空船的軌跡也可看成是其座標系中的時間軸(t’)。

回想情境一中,車相對人的速率可以兩者速率減出。

同理,情境二中,光相對太空船的速率 = 3 x 10⁸ - 1.5 x 10⁸ = 1.5 x 10⁸ m/s。

所以相對人來說,光的速率是3 x 10⁸ m/s,但對於太空船來說卻是1.5 x 10⁸ m/s,兩者不同。問題是這不乎合我們的實際觀察。實際的觀察中,對於以任何速率運動的觀察者,真空中的光速都是3 x 10⁸ m/s!

就是由於光速的絕對性,這個現代的物理定律,我們必須修正牛頓物理,引入狹義相對論。


二、相對論的同時性

留意,從這裡開始,我們要假設相對論的前設:對於任何觀察者光速都是3 x 10⁸ m/s。

由於如此,加上我刻意把一秒和3 x 10⁸ m畫成相同長度,光在時空圖的軌跡永遠都成+/-45度角。(見圖四)

現在看看情境三:這情況和情境二相同,只是原本的太空船A前面3 x 10⁸ m,有另一艘太空船B以1.5 x 10⁸ m/s向同一方向運動(兩者速率相同,所以B相對A是靜止的)。這次是太空船A在t = -1 s向前照射出一條光線,而太空船B的尾有一面鏡子反射光線給A(這也是它這裡唯一功用!)。(圖五)

圖五

在太空船A的座標系(x’-t’)表示出來會是如何呢? A在t’ = -1 s 發射光線後,在t’ = 0光線被B反射,在t’ = 1 s回到A。同樣光的軌跡總是成45度。(圖六)

圖六

好,現在我們試試把A的座標系,畫在那靜止的人的座標系。這樣可以得出有趣的結果!

記住太空船A和那人在t’ = t = 0, x’ = x = 0相遇,先如圖四畫上t’軸。光的軌跡總是成45度,也畫上光的軌跡。(圖七)

圖七

記住在t’ = 1 s光線回到A,而光的軌跡總是成45度。這個光軌跡的轉向成90度,轉向的一點代表t’ = 0這個時刻,所以可畫上太空船A的空間軸x’。(圖八)

圖八

在圖八中,我們看見運動中的太空船A的座標系,相對於靜止的人來說是扭曲了的。所以所謂時間和空間,都是相對於觀察者,而非如牛頓物理中是絕對的。(註2)

更奇怪的是,相對太空船A來說,「A和人相遇」和「光反射了」兩個事件都是在t’ = 0發生的。但相對那人來說,「A和人相遇」在t = 0時發生,而「光反射了」是在之後才發生的。

太空船A認為是同時的事,對人來說卻不是。所以相對論中,由於光速絕對,時間、空間、同時性都是相對的。但由於我們日常經驗中的相對速率都遠低於光速,這些相對論的影響都難以察覺。


進階閱讀:

Special relativity | Physics | Science | Khan Academy
https://www.khanacademy.org/science/physics/special-relativity


註1:在相對論中常用的時空圖 - 閔可夫斯基圖(Minkowski diagrams) - 中,時間軸將乘以c,即光速,變成ct,以表示時間和空間在時空(spacetime)中的連續性(continuum) 。但這裡為了簡化,只用t。

註2:所謂扭曲,也是相對的。相對太空船A,人的座標系也是扭曲了,也可以時空圖表達出來,只是「正常」的座標換成了太空船A的。


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